Функции Грина для статически неопределимых однопролетных балок

Abstract

В зависимости от класса в инженерной практике различают решаемые задачи: статические / динамические, плоские / пространственные, контактные / с частичным или краевым опиранием и др. Давление рельса на шпалу, колонны на фундамент, плит перекрытия на стены, фундамента на грунтовое основание – все это типичные примеры практических задач, приводящие к необходимости решения краевых задач – математически и контактных – физически. Из математических постановок контактных задач конструкций, лежащих на упругом основании, известно, что основу их решения составляет поиск закона распределения реактивных давлений на контакте конструкции с основанием, который сложным образом зависит от жесткости конструкции, упругих характеристик основания, внешней нагрузки, характера закрепления конструкции. При решении многих краевых и начально-краевых задачах строительной механики и теории упругости, таких как решение классического однородного уравнения методом собственных функций, при некоторых граничных условиях, вытекающих из рода закрепления балки на концах, важную, порой определяющую, роль играют фундаментальные функции оператора xIV, которые получили свою базовую трактовку академиком А. Н. Крыловым. Однако вычисления по этим формулам весьма затруднительны из-за математических ограничений и громоздкости выражений. В связи с этим в предлагаемой работе использованы собственные функции дифференциального уравнения изгибных колебаний статически неопределимых однопролетных балок для построения функции Грина в виде бесконечного ряда по этим собственным функциям. Построены точные выражения для определения прогибов балок от сосредоточенной силы. Полученные выражения представлены через элементарные функции, носят общий характер и дают возможность решать разнообразные задачи статики, динамики и устойчивости рассматриваемых балок. Авторами получены численные результаты для изгибающих моментов и прогибов защемленной балки и балки с защемленной и шарнирной опорами с использованием компьютерного пакета MATHEMATICA. Depending on the class in engineering practice, the problems to be solved are distinguished: static/dynamic, flat/spatial, contact/with partial or edge support, etc. The pressure of a rail on a sleeper, a column on a foundation, floor slabs on walls, a foundation on a soil foundation – all these are typical examples of practical problems that lead to the need to solve boundary value problems – mathematically and contact problems – physically. From the mathematical formulations of contact problems of structures lying on an elastic foundation, it is known that the basis for their solution is the search for the law of distribution of reactive pressures at the contact of the structure with the foundation, which depends in a complex way on the rigidity of the structure, the elastic characteristics of the foundation, external load, and the nature of the structure’s fastening. When solving many boundary-value and initial-boundary-value problems of structural mechanics and the theory of elasticity, such as solving a classical homogeneous equation by the method of eigenfunctions, under certain boundary conditions arising from the type of fastening of the beam at the ends, an important, sometimes decisive, role is played by the fundamental functions of the operator xIV, which received their basic interpretation by Academician A. N. Krylov. However, calculations using these formulas are very difficult due to mathematical limitations and the cumbersomeness of the expressions. In the proposed work, eigenfunctions of the differential equation of bending vibrations of statically indeterminate single-span beams are used to construct the Green's function in the form of an infinite series for these eigenfunctions. Exact expressions have been constructed to determine the deflections of beams due to concentrated force. The resulting expressions are presented through elementary functions, are of a general nature and make it possible to solve various problems of statics, dynamics and stability of the beams under consideration. The authors obtained numerical results for bending moments and deflections of a clamped beam and a beam with clamped and hinged supports using the MATHEMATICA computer package.